0^0はいくつか？

通常、0で割るということは禁則事項である。
それは小さい時からずっと言われていることである。
では、0^0というのはどうだろうか？
禁則事項というよりもそもそも話題にすらされない。
じゃあ、考えてみよう！

予め断っておくと、以下の理由で理系数学Ⅲの範囲である。
①自然対数e
②合成関数の微分
③対数関数の微分
（シンは大学の経済数学で同じことをやっていた）

まず、この数が一体なんであるかを想像してみよう。
元の数が0なんだからいくら0を掛けても0だとも言えるし、どんな数（実数は勿論、虚数iも）でも0乗は1なんだから1だろうとも言える。

それでは、x^xという関数を考えてみよう。
xに1から順に放り込めば（と言うより直感的にも）右肩上がりなのは分かるだろう。
じゃあ、x<1の時はと言うと、よく分からないと言う人も多いのではないか。
これが引き続き左下へ向かうのであれば0であると言えるし、どこかで極小値を取るのであれば0ではないと言える。

なので、グラフを作るために微分してみよう。

x^xを微分する過程は（検索すれば詳しく載っているので）ここでは省略する。
結論としてはf´(x)=x^x(log x ＋1)（自然対数）
ここで、log x +1=0、即ちx=1/eの時に極小値を取るので、これより小さいxの値を取る時はf(x)は増加する。
f(1/e)=0.69で、f(0)はこれより大きい値になるはずである。

事実、f(1/10)を求めてみると、この値は(1/10)^(1/10)より、10回掛けて1/10になる数であり、その数は大体0.79となり、f(1/e)よりも大きく、0よりも1に近い。
よって、ここでも0ということは考えられず、1であると言える。
但し、対数を取っている関係で、（高校数学の範囲では）x=0の時を厳密に定義できない。

また、(x+h)^(x+h)を考えてみる。
（hは0に近い数でありながら0ではない極めて小さい数）
ここでx=0を代入すると、h^hとなる。
0に近い数にほぼ0乗とすれば、こちらも1に極めて近い数を得られる。

ここでは省略するが、より0に近い具体的な数字（1/100や1/1000）を入れてみると、1に近くなることが分かる。
ちなみに、よっぽど小さい数でないと1にはなかなか近付かない。