円の接線の方程式

暇があったら計算ばかりしている今日この頃。
とりわけ、微積をyoutubeで見かけてから妙にハマっている。
そんな中、円の接線を求めようとしているが、知りたい事が①円の方程式の微分②接線の方程式なのに、②だけ先に分かってしまい①が分からないままと言う…
一応、①も公式としては覚えているのではあるが。

まず、円の方程式は(x-a)^2+(y-b)^2=r^2…式①
特に、原点が中心で半径が1ならx^2+y^2=1となる。
この式を微分すると2x+2y・y'=0からy'=-x/yだが、ここに至るプロセスがどれを調べても分からない。
この-x/yは答えだけは簡単に分かり、単純に式①で任意の点rを取ってみる。
すると、その座標は(cosθ,sinθ)となる。
orはy=sinθ/cosθとなり、接線は直角になるので、orと円の接線lの傾きmは掛けたら-1になる。
よってlの傾きmはsinθ/cosθ・m=-1より
m=-cosθ/sinθ
さて、ここでxはcosθ、yはsinθの事なので、見事に上記と一致する。

例えば、θ=30度としてみる。
rは(cos30°,sinθ)=(√3/2,1/2)となり、その直線はy=1/2 / √3/2(表記に困るが分子が1/2、分母が√3/2)の計算と言う事。
もっとも、両方とも1/2なので分子・分母とも2/2を掛けたら1/√3となる。
これをmと掛けたら-1になるんだから1/√3・m=-1になり、
m=-√3である。
よってy-b=-√3(x-a)でa,bに先程の数を代入して
y-1/2=-√3(x-√3/2)
y=-√3x+3/2+1/2
y=-√3x+2